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点差法在前面的一篇文章中有提到：

当时主要解决的是关于原点对称的点，但其实点差法还有一个妙用：

例1 已知椭圆 ，直线 交椭圆于 两点， 为 的中点，求证： 为定值。

分析 用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。

解 设 ， ，

在椭圆上： ，

作差得：

即： ，

因为

所以 ，为定值。

以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。

考虑当椭圆为圆的时候， ，则 ， ，正好也符合圆的“垂径定理”。

在双曲线中 同样有类似的结论，但定值为 ，在这里就不再推导了。

二、弦上的定比分点

当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：

设 ， ， ，则 点坐标可以表示为：

，

证明 设 ， ，化简可得：

，同理

这时候就出现了 这样形式的式子。

如果再凑出 ，可能大家就会有点感觉了：

可以将椭圆的方程乘上一个 再作差，得到这样的式子图卢兹数据分析。

因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。

例2 已知椭圆 ， 在椭圆外，过 作直线 交椭圆于 两点， 在线段 上且满足： ，求证：点 在定直线上。

分析 按照以上思路，要出现 和 这样的式子，很容易想到设 的坐标，再表示出 的坐标。

解 设 ， ， ，

则 ，结合图形得：

则 ，

在椭圆上： ①， ②

得：

即

，所以 在定直线 上。

这条定直线就是 点对应的切点弦。

三、总结

点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理，

解析几何多掌握点小技巧总是好的，至少在考场上看到题目，知道是自己会的模型，就会很有自信~